積分的加減乘除運(yùn)算法則

積分是常數(shù)，是微積分學(xué)與數(shù)學(xué)分析里的一個(gè)核心概念，通常分為定積分和不定積分兩種。積分中的加減運(yùn)算法則指的是對(duì)兩個(gè)或多個(gè)函數(shù)進(jìn)行加減運(yùn)算的規(guī)則。

積分的加減乘除運(yùn)算法則

積分的加減乘除運(yùn)算法則如下：

1、加法法則：包括兩個(gè)重要公式。第一個(gè)公式是積分求和公式，即∫[a,b](f(x)+g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx+∫[a,b]g(x)dx。第二個(gè)公式是積分的線性性，即∫[a,b](αf(x)+βg(x))dx=α∫[a,b]f(x)dx+β∫[a,b]g(x)dx，其中α、β為任意常數(shù)。

這意味著對(duì)于某一區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)函數(shù)，求它們的積分和時(shí)，可以將兩個(gè)函數(shù)的積分分別求出后再相加；當(dāng)需要將某一區(qū)間內(nèi)的函數(shù)乘以一個(gè)常數(shù)后求積分時(shí)，可以將該常數(shù)分別乘以函數(shù)的積分后再相加。

2、減法法則：與加法法則基本相同，只是在第一個(gè)公式中多了一個(gè)負(fù)號(hào)，即∫[a,b](f(x)-g(x))dx=∫[a,b]f(x)dx-∫[a,b]g(x)dx。這個(gè)公式意味著當(dāng)需要對(duì)某一區(qū)間內(nèi)的兩個(gè)函數(shù)進(jìn)行積分差時(shí)，可以將該區(qū)間內(nèi)第二個(gè)函數(shù)的積分取相反數(shù)后再與第一個(gè)函數(shù)的積分相加。

3、乘法法則：用于求兩個(gè)函數(shù)的積的積分，其公式為∫[a,b]f(x)g'(x)dx=f(x)g(x)∣[a,b]-∫[a,b]f'(x)g(x)dx。這意味著當(dāng)需要求某一區(qū)間內(nèi)兩個(gè)函數(shù)乘積的積分時(shí)，可以將其中一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘另一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)后再減去另一個(gè)函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘第一個(gè)函數(shù)的原函數(shù)的積分。

4、除法法則：用于求兩個(gè)函數(shù)相除的積分，其公式為∫[a,b]f(x)g'(x)dx=ln|g(x)|∣[a,b]-∫[a,b]f'(x)ln|g(x)|dx。這意味著當(dāng)需要求某一區(qū)間內(nèi)兩個(gè)函數(shù)相除的積分時(shí)，可以將被除數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以除數(shù)的倒數(shù)后求積分，再減去除數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以被除數(shù)除以除數(shù)的積分的自然對(duì)數(shù)值。

積分加減乘除的關(guān)系

研究函數(shù)微分與積分的目的和意義

加減乘除都是針對(duì)數(shù)的運(yùn)算，當(dāng)面對(duì)更復(fù)雜的問(wèn)題時(shí)，加減乘除就不夠用了，微分和積分是針對(duì)函數(shù)的運(yùn)算。

加減乘除對(duì)函數(shù)也是有效的，但是僅僅是逐點(diǎn)計(jì)算的，不是整體的運(yùn)算。

通過(guò)引入新的計(jì)算方式，即微分和積分，可以對(duì)函數(shù)在整體上進(jìn)行運(yùn)算從而得到一些新的函數(shù)，這就拓展了以前的加減乘除的運(yùn)算。

高中積分乘除運(yùn)算法則

定積分有分步積分，公式∫udv=uv-∫vdu

沒(méi)有什么乘除法則

定積分沒(méi)有乘除法則，多數(shù)用換元積分法和分部積分法。

換元積分法就是對(duì)復(fù)合函數(shù)使用的：

設(shè)y=f(u)，u=g(x)

∫f[g(x)]g'(x)dx=∫f(u)du

換元積分法有分第一換元積分法：設(shè)u=h(x)，du=h'(x)dx

和第二換元積分法：即用三角函數(shù)化簡(jiǎn)，設(shè)x=sinθ、x=tanθ及x=secθ

還有將三角函數(shù)的積分化為有理函數(shù)的積分的換元法：

設(shè)u=tan(x/2)，dx=2/(1+u2)du，sinx=2u/(1+u2)，cosx=(1-u2)/(1+u2)

分部積分法多數(shù)對(duì)有乘積關(guān)系的函數(shù)使用的：

∫uv'dx

=∫udv

=uv-∫vdu

=uv-∫vu'du

其中函數(shù)v比函數(shù)u簡(jiǎn)單，籍此簡(jiǎn)化u。是由導(dǎo)數(shù)的乘法則(uv)'=uv'+vu'推導(dǎo)過(guò)來(lái)的。

有時(shí)候v'=1的，例如求∫lnxdx、∫ln(1+x)dx等等。