矩陣的逆矩陣怎么求

矩陣是高等代數(shù)學(xué)中的常見(jiàn)工具，也常見(jiàn)于統(tǒng)計(jì)分析等應(yīng)用數(shù)學(xué)學(xué)科中。矩陣是一個(gè)按照長(zhǎng)方陣列排列的復(fù)數(shù)或?qū)崝?shù)集合，最早來(lái)自于方程組的系數(shù)及常數(shù)所構(gòu)成的方陣。

矩陣的逆矩陣怎么求

最簡(jiǎn)單的辦法是用增廣矩陣。如果要求逆矩陣是A，則對(duì)增廣矩陣（AE）進(jìn)行初等行變換，E是單位矩陣，將A化到E，此時(shí)此矩陣的逆就是原來(lái)E的位置上的那個(gè)矩陣，原理是A逆乘以（AE）=（EA逆）初等行變換就是在矩陣的左邊乘以A的逆矩陣得到的。

設(shè)A是數(shù)域上的一個(gè)n階矩陣，若在相同數(shù)域上存在另一個(gè)n階矩陣B，使得：AB=BA=E，則我們稱(chēng)B是A的逆矩陣，而A則被稱(chēng)為可逆矩陣。注：E為單位矩陣?？赡婢仃囈欢ㄊ欠疥?。如果矩陣A是可逆的，其逆矩陣是唯一的。

A的逆矩陣的逆矩陣還是A。記作（A-1）-1=A。可逆矩陣A的轉(zhuǎn)置矩陣AT也可逆，并且（AT）-1=（A-1）T（轉(zhuǎn)置的逆等于逆的轉(zhuǎn)置）若矩陣A可逆，則矩陣A滿(mǎn)足消去律。即AB=O（或BA=O），則B=O，AB=AC（或BA=CA），則B=C。

求逆矩陣的方法

1.待定系數(shù)法

待定系數(shù)法顧名思義是一種求未知數(shù)的方法。將一個(gè)多項(xiàng)式表示成另一種含有待定系數(shù)的新的形式，這樣就得到一個(gè)恒等式。然后根據(jù)恒等式的性質(zhì)得出系數(shù)應(yīng)滿(mǎn)足的方程或方程組，其后通過(guò)解方程或方程組便可求出待定的系數(shù)，或找出某些系數(shù)所滿(mǎn)足的關(guān)系式，這種解決問(wèn)題的方法叫做待定系數(shù)法。

2.伴隨矩陣法

用這個(gè)方法之前，必須先搞清什么是余子式和代數(shù)余子式！這種方法計(jì)算量比較大，特別注意是區(qū)分余子式和代數(shù)余子式這兩個(gè)概念，代數(shù)余子式的轉(zhuǎn)置（行變列，列變行）以及乘以行列式值分之一

3.初等變換法

一般采用的是初等行變換。定義：所謂數(shù)域P上矩陣的初等行變換是指下列3種變換：

1）以P中一個(gè)非零的數(shù)乘矩陣的某一行

2）把矩陣的某一行的c倍加到另一行，這里c是P中的任意一個(gè)數(shù)

3）互換矩陣中兩行的位置

逆矩陣的運(yùn)算及其運(yùn)算規(guī)則

|A^（-1）|=|A|^（-1）逆矩陣；

設(shè)A是數(shù)域上的一個(gè)n階方陣，若在相同數(shù)域上存在另一個(gè)n階矩陣B，使得：AB=BA=E。則我們稱(chēng)B是A的逆矩陣，而A則被稱(chēng)為可逆矩陣。

證明：

因?yàn)椋ˋB）（B^-1A^-1）

=A（BB^-1）A^-1

=AEA^-1

=AA^-1

=E

所以（AB）^-1=B^-1A^-1

可逆矩陣還具有以下性質(zhì)：

（1）若A可逆，則A-1亦可逆，且（A-1）-1=A[4]。

（2）若A可逆，則AT亦可逆，且（AT）-1=（A-1）T[4]。

（3）若A、B為同階方陣且均可逆，則AB亦可逆，且（AB）-1=B-1A-1。

求逆矩陣的步驟

逆矩陣存在的條件是矩陣的行列式不為0。

如果一個(gè)n階方陣A的行列式不為0，則A可逆，也就是存在一個(gè)n階方陣B，使得AB=BA=I。

其中，I是n階單位矩陣。

求逆矩陣的步驟如下：

1.構(gòu)造增廣矩陣[A|I]，其中A是待求逆矩陣，I是n階單位矩陣；

2.對(duì)增廣矩陣進(jìn)行初等行變換，將矩陣A變?yōu)閚階單位矩陣I；

3.對(duì)初等行變換后的增廣矩陣進(jìn)行觀察，如果右側(cè)n階矩陣不為單位矩陣，則原矩陣A不存在逆矩陣；

4.如果右側(cè)n階矩陣是單位矩陣，則左側(cè)的矩陣就是A的逆矩陣B。

需要注意的是，矩陣求逆時(shí)要注意精度問(wèn)題，計(jì)算過(guò)程中要注意舍入誤差和相減的可能出現(xiàn)的減法消元誤差。